Обновление убеждений в доказательствах новых данных
Введение
Теория вероятностей - это раздел математики, изучающий неопределенность. Некоторые события с соответствующей вероятностью - это прогноз дождя, злокачественная опухоль или выигрышная комбинация в игре в покер.
Однозначного определения концепции вероятности не существует, что дает начало различным школам, которые понимают это понятие в соответствии с объектом, к которому оно относится. Вероятность можно понимать как
- Долгосрочные частоты (школа Frequentist).
- Физические наклонности (школа Склонность).
- Степени веры (байесовская школа).
- Степени логической поддержки (Логическая школа).
Все эти определения дополняют друг друга и совместимы с одной общей концепцией. Обратите внимание, что во всех случаях должны выполняться аксиомы Колмогорова:
- Вероятность любого события больше или равна 0.
- Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из возможных событий случайного процесса, равна 1.
- Для набора неперекрывающихся событий вероятность того, что произойдет хотя бы одно событие, равна сумме вероятностей отдельных событий в наборе.
В этой статье мы исследуем байесовскую концепцию вероятности в области здоровья и ее сравнение с классическим определением вероятности. Для более подробного объяснения остальных школ или самой концепции вероятности вы можете обратиться к следующему посту:
Классическое определение вероятности восходит к 17 веку и определяет пространство возможностей как набор взаимоисключающих исходов, предполагающих случайный характер события. Таким образом, вероятность наступления определенного события будет определяться как отношение количества благоприятных исходов к количеству возможных исходов.
Например, учитывая популяцию из 18 больных раком, 23 пациентов с пневмонией и 287 здоровых пациентов, вероятность того, что случайно выбранный человек будет болен, будет
Однако мы определяем другие вопросы, на которые нельзя ответить с помощью классической вероятности, например:
- Учитывая, что последние три раза на пробежку у меня болело колено, какова вероятность, что при следующей пробежке будет больно?
- Если я замечаю, что в последнее время не могу сосредоточиться на своей работе, какова вероятность того, что я страдаю от стресса?
- У меня было два последовательных теста на COVID. Первый был отрицательным, а второй - положительным. Какова вероятность того, что я заражен?
Байесовская статистика рассматривает вероятность как меру степени уверенности в наступлении события или правдивости определенной гипотезы; он представляет собой знания и опыт. Эта концепция вероятности позволяет связывать вероятности с событиями, даже если они не повторяются.
Основное отличие от предыдущих школ состоит в том, что это позволяет нам обновлять априорную вероятность на основе новых данных, поскольку мы можем получить к ним доступ. Только значения 0 или 1 указывают на абсолютную достоверность, тогда как промежуточные значения представляют собой неопределенность.
Постановка задачи
Рассмотрим следующий клинический сценарий:
Примерно 1% женщин в возрасте от 40 лет, которые проходят плановое сканирование, страдают раком груди. У нас есть модель маммографического анализа, способная точно идентифицировать рак груди в 80% реальных случаев. Однако, поскольку модель не идеальна, у 9,6% женщин, не страдающих раком груди, модель также обнаруживает заболевание (ложноположительный результат).
В этом случае мы будем обозначать как гипотезу наличие (или отсутствие) рака груди, а как свидетельство результаты теста.
У 40-летней женщины обычный тест дал положительный результат. Какова вероятность того, что у нее действительно рак груди?
Различные исследования [4, 5, 6] показывают, что 85% врачей неправильно отвечают на этот вопрос, оценивая вероятность от 70% до 80%, что очень далеко от реальности. Эти результаты показывают, насколько парадоксальным является байесовское мышление.
Наиболее частая ошибка заключается в том, что в этой статистике не учитывается начальная вероятность для женщины сорока лет иметь рак груди (ранее) и частота ложных срабатываний, обнаруженных тестом. Следовательно, P (C | +) ≠ P (+ | C).
Теорема Байеса
Давайте начнем с рассмотрения вероятности того, что женщина больна раком груди И получит положительный результат маммографии. Обратите внимание: поскольку результат теста зависит от наличия (или отсутствия) заболевания, мы не можем рассматривать эти события как независимые. Другими словами:
Таким образом, используя условную вероятность, предыдущая вероятность может быть выражена двумя разными и эквивалентными способами:
где P (A | B) указывает вероятность события A ДАННОЕ событие B. Наконец, из этого последнего равенства мы можем получить выражение, которое связывает обе условные вероятности; знаменитая теорема Байеса.
Чтобы получить вероятность того, что маммография будет положительной, мы должны учитывать как истинно положительные, так и ложноположительные сценарии.
где вероятность не заболеть раком P (¬C) = 1 – P (C). Обратите внимание, что это выражение просто указывает долю больных раком с положительным тестом среди всех пациентов с положительным тестом.
У нас уже есть все необходимые инструменты для решения вопроса о том, какова вероятность рака груди при положительном результате теста (также известном как апостериорная вероятность).
Для более подробной геометрической демонстрации выполненных процедур см. Это видео и это другое видео.
Абсолютная уверенность
Правило Байеса больше бесполезно перед лицом абсолютной априорной уверенности. В этом случае апостериорные данные не зависят от новых данных.
Если мы уверены, что женщина не болеет раком, P (C) = 0,
Если мы уверены, что женщина страдает раком, P (C) = 1,
Это подчеркивает важность допуска неопределенности относительно априорной вероятности гипотезы, особенно в медицинских приложениях.
Практический пример
Одна из основных проблем байесовской статистики - знать априорную вероятность, также известную как распространенность в медицинском контексте. Часто используемая стратегия заключается в сравнении количества людей, у которых обнаружено это заболевание, с общим количеством изученных людей. Постановка задачи предоставляет эту информацию, указывая на то, что «примерно 1% женщин в возрасте от 40 до 40 лет, которые проходят плановое сканирование, страдают раком груди.», то есть P (C) = 0,01.
Априорные условные вероятности будут характеристикой модели и могут быть определены из матрицы неточностей. Постановка задачи предоставляет эту информацию, указывая на то, что «Модель способна точно идентифицировать рак груди в 80% реальных случаев. Однако, поскольку модель не идеальна, в 9,6% случаев женщин, не страдающих раком груди, модель также выявляет болезнь. ”, то есть P (+ | C) = 0,8 и P (+ | ¬ C) = 0,096.
Введя эти значения в ранее полученную формулу Байеса,
То есть, если для женщины в возрасте 40 лет наша модель анализа маммографии дает положительный результат, вероятность того, что у нее действительно рак груди, составляет 7,8%. Эта очевидно низкая вероятность объясняется влиянием низкой доли женщин с раком груди в популяции и количеством ложноположительных результатов.
Теперь предположим, что женщина прошла вторую маммографию из совершенно другой лаборатории (что позволяет предположить независимость с помощью первого теста), которая снова дает положительный результат. Так какова теперь вероятность того, что у нее рак груди?
Чтобы получить ответ, мы можем снова использовать формулу Байеса, где теперь результат первого теста обновляет наши предыдущие знания о вероятности того, что женщина болеет раком. То есть P (C) = 0,078. Следовательно,
Мы обнаружили, что даже с двумя положительными тестами, полученными в независимых лабораториях, вероятность рака груди у женщины составляет всего 41,3%. Мы можем повторять эту операцию итеративно, получая, что с тремя положительными тестами вероятность рака будет 85,4%, а с четырьмя положительными тестами - 98%.
Чтобы получить апостериорную вероятность подтверждения гипотезы в 99%, требуется около пяти положительных свидетельств.
Выводы
Эти результаты подчеркивают трудность человека делать статистические предположения, основанные на инстинкте, и то, как байесовскую статистику следует понимать как динамическую концепцию вероятности, способную включать новые знания в уравнение. Тем не менее, существуют открытые дебаты о байесовской природе человеческого разума.
Одним из основных недостатков байесовской статистики [Y] является ее сильная зависимость от априорных вероятностей и отсутствие стандартизированной методологии для их выбора. С практической точки зрения иногда бывает трудно убедить экспертов в предметной области, которые не согласны с обоснованностью выбранного априорного решения.
Способность модели правильно определять наличие болезни (чувствительность) или ее отсутствие (специфичность) напрямую связана с условными вероятностями, присутствующими в формуле Байеса. .
Все эти показатели можно определить и использовать для расширенной оценки, выходящей за рамки точности моделей медицинской классификации.
ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ: все медицинские данные, использованные в этой статье, были выбраны в педагогических целях и ни в коем случае не должны рассматриваться как действительные для любого реального медицинского применения.
использованная литература
[1] Вероятностный мир », блог The Cthaeth.
[2] « Справочник по байесовской статистике для студентов», книга Бена Ламберта.
[3] Байесовская ловушка », видео Veritasium.
[4] Кэссселлс В., Шенбергер А., Грабойс ТБ. Интерпретация врачами результатов клинико-лабораторных исследований. N Engl J Med. 1978; 299 (18): 999–1001.
[5] Эдди, Дэвид М. (1982). Вероятностные рассуждения в клинической медицине: проблемы и возможности. Суждение в условиях неопределенности: эвристика и предубеждения (стр. 249–267). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета.
[6] Гигеренцер, Г., & Хоффраге, У. (1995). Как улучшить байесовские рассуждения без инструкции: частотные форматы. Психологический обзор, 102 (4), 684–704.
[7] Введение в процедуру байесовского анализа, Документация SaS.
[8] Является ли мозг байесовским?, Джон Хорган (2016).
[9] Теорема Байеса, видео 3blue1brown.
[10] Быстрое доказательство теоремы Байеса », видео от 3blue1brown.
